把系数列成数表，再逐项消去未知量。
现代写法就是增广矩阵的行变换：倍乘一行、两行相减，最后回代求解。
未知元unknown
方程数的位置
天元一个未知
四元多元消去
约公元 1 世纪《九章算术》
13 世纪天元术成熟
1303 年《四元玉鉴》
壹 · 方程术
两种粮食，
各自一份有多少？
《九章算术》第八章“方程”处理多元一次问题：每一道条件占据算板的一列，每一种未知量占据固定位置，总量也列在其中。随后对整列数字进行倍乘与相减，逐步消去未知量。
与今日高斯消元的关系
算法结构高度相似
动手一算
两行数字，怎样吐出答案？
01／ 04
简化例题
二秉上禾与一秉下禾共收五斗；一秉上禾与三秉下禾共收七斗。问：上禾、下禾每秉各收多少斗？
先设未知量
x = 每秉上禾的产量
y = 每秉下禾的产量
写成今天的方程
2x + y = 5x + 3y = 7
写成今天的增广矩阵
215137
怎样读这张表？ 每一行是一条条件；第一列是 x 的系数，第二列是 y 的系数；竖线右边是等号右侧的总产量。下面每一步都在改变数字的写法，但不改变方程组的答案。
215
137
置列把两条方程放进同一张表
下方使用现代“方程占一行”的方向展示；《九章算术》的算板方向与此转置。
同一种动作，两种语言
算筹操作 ⇄ 线性代数
各置
把各项系数按位摆放
现代对应：建立增广矩阵
2 1 │ 51 3 │ 7
encode
遍乘
整列倍乘以齐同系数
现代对应：倍乘一行
R₂ ← 2R₂1 3 │ 7 → 2 6 │ 14
scale
直除
相减并消去一项
现代对应：行替换消元
R₂ ← R₂ − R₁2 6 │ 14 − 2 1 │ 5= 0 5 │ 9
eliminate
以法除之
除以主元，再回代求解
现代对应：主元归一与回代
R₂ ← R₂ ÷ 5y = 9/5，x = 8/5
solve
四张卡沿用上方同一个方程组。现代行变换写作 R₁、R₂；《九章算术》按列布筹，因此实际操作方向与这里的现代矩阵转写互为转置。术语对照用于说明计算结构，并非逐字翻译。
贰 · 天元术
一个“元”，
把未知量立了起来。
“立天元一为……”— 13 世纪数学文本中的典型设元句式
天元术把一个未知量设为“天元”，并用算筹的位置表示它的各次幂系数。它不等同于写下字母 x，却能像多项式一样组织和运算未知量。
一个小问题
方田一边比另一边长一尺，
方田一边比另一边长一尺，
面积为十二平方尺。
设较短边为“天元一”。拖动木筹，观察面积如何变化。
12平方尺
天元 = 3
天元 + 1 = 4
把故事收束成一个多项式
x(x + 1) = 12→x² + x − 12 = 0
二次位1x²
天元位1x
常数位−121
右侧的 x 与幂符号是现代对照；古法的关键是“位置”，不是字母。
叁 · 四元术
天、地、人、物，
四个方向容纳四个未知。
朱世杰于 1303 年刊成《四元玉鉴》，以天、地、人、物指称至多四个未知量，并通过逐次消去，把多元高次问题化为一元方程。
它的厉害之处：不是“碰巧写出四个字母”，而是发展出一套能安放多元多项式、并继续计算的结构。
《四元玉鉴》卷首第四例 · 四象会元天元 · x
天元居中，是首先立起的未知量。
原书题文
今有股乘五较与弦幂加句乘弦等。只云句除五和与股幂减句弦较同。问黄方带句股弦共几何？
答曰：一十四步。草曰：立天元一为句，地元一为股，人元一为弦，物元一为开数，四象和会求之。
查看《四元玉鉴》原文 ↗
现代记号
- 天元
- x · 句
- 地元
- y · 股
- 人元
- z · 弦
- 物元
- u · 所求总和
黄方是直角三角形内切圆的直径：d = x + y − z，所以所求 u = x + y + z + d = 2x + 2y。
第一步 · 四元立式
把原题写成四元关系
天 x地 y人 z物 u
x² + y² = z²
y · 五较 = z² + xz
五和 / x = y² − (z − x)
u = x + y + z + (x + y − z)
四条关系同时放在算板上。前三条确定句、股、弦，第四条记录物元——题目最终要问的总和。
动画采用现代符号复算原题的消元逻辑；原书以四元算筹式“消而剔之”，其式图在传世文本中以图版呈现。现代推导参考原题定义，将“五较”化为 2z、“五和”化为 2x + 4y + 4z。
从算板到矩阵
方法相通，
步骤一一对应。
设一个未知量，并按位置排列它的各次幂系数。
用现代符号写出，就是以 x 为未知量的一元多项式及其系数表。
用天、地、人、物组织四个未知量。
本页原题用现代符号转写为 x、y、z、u；字母只是转写，四个元都能进入多项式运算。
四元化三元，三元化二元，最终归于一元。
现代代数同样通过消去变量，把多元方程组化为可求解的一元方程。
放回世界史的时间轴
不是孤立的“提前”，
而是各文明不同的路。
- 《九章算术》定型“方程”章以列阵与消元处理联立一次问题。
- 天元术见于传世文本李冶、朱世杰等人以位置制表达一元多项式。
- 《四元玉鉴》朱世杰将多未知量方法推进到“天、地、人、物”四元。
- 欧洲符号代数走向定型韦达以字母表达一般量；笛卡尔使 x、y、z 与现代幂记号广为人知。
据与界
每一份自豪，
都经得起追问。
年代与术语存在学术讨论。本页采用较保守的表述：“现存文本”“结构相似”“现代转写”，不主张简单的单线发明史，也不暗示高斯直接继承了《九章算术》。