四个动作
割 · 逼 · 积 · 合
看一种数学直觉
怎样逼近今天。
壹 · Cut
割
“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”刘徽《九章算术注》
从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍。多边形不曾变成圆，却会越来越贴近圆。
圆
边数6
圆周率近似3.000000
未覆盖面积17.301%
图中的数值用现代三角函数重算刘徽的几何过程；半径取 1。
贰 · Approach
逼
“割之弥细，所失弥少。”刘徽《九章算术注》
把误差放到眼前。边数每翻一倍，夹住圆周率的区间便骤然缩短。
内接下界π外切上界
3.000000π3.464102
尚未确定的区间0.464102
两边都在移动，目标被夹在中间。
叁 · Accumulate
积
“幂势既同，则积不容异。”祖暅，唐李淳风等《九章算术》注引
“幂”指截面面积，“势”指高度。把球横切成一层层薄片：每层都很薄，所有截面合起来便决定整个体积。
切片数4
薄片厚度0.5000 r
体积近似4.31969
相对误差3.125%
透明薄片是现代可视化：祖暅原理比较的是同高处截面积，而非写出黎曼和。
肆 · Merge
合
把古代的动作与现代的符号叠在一起。拖动中线，看看哪些结构延续下来，又有哪些表达后来才被建立。
古代算法语言
割六觚 → 十二觚 → 二十四觚
逼割之弥细，所失弥少
积幂势既同，则积不容异
现代形式语言
分割n → ∞
极限lim An = πr²
积分Σ A(zᵢ)Δz → ∫ A(z) dz
刘徽与祖暅没有现代函数、极限定义和积分符号；他们留下的，是对分割、逼近与等截面求积极其清楚的算法思想。
史料与说明
从原文出发
所有动态图形都用现代数值方法重建古代思想，用于建立直觉，不代表古代文献采用了今日的函数、坐标、极限符号或黎曼积分定义。